早在20世紀數學家阿爾弗雷德·諾斯·懷特海德和波特蘭·拉塞爾就發表了他們的開創性工作——《Principia Mathematica》（數學原理），這本書試圖確定一些公理，讓它們作為所有數學的基礎。26然而，他們最後沒能證明可以生成自然數（正整數或自然數）的公理系統不會引起矛盾。據推斷，這種證明遲早會被找到，但在20世紀30年代，年輕的捷克數學家庫爾特·哥德爾證明了在這樣的一個系統中必然存在一些命題，他們既不是真命題也不是假命題，他透過這個證明震驚了整個數學界。後來發現，這些不可證明的命題就像可被證明的命題一樣常見。哥德爾的不完全性定理從根本上表明邏輯、數學甚至計算的能力是有限的，這個定理被稱為數學中最重要的定理，它的含義仍在爭論中。27

艾倫·圖靈在理解計算的性質時得到了類似的結論。1936年，圖靈提出了圖靈機（詳見第2章），並報告了一個意外的類似哥德爾的發現28。圖靈機作為計算機的一個理論模型發展至今，並形成了現代計算理論的基礎。圖靈在當年的論文中描述了無法解決的問題的概念，那就是存在這樣的問題：它有明確的定義和唯一的答案，但我們不能透過圖靈機計算。

事實上，存在一些不能用這個特定理論機器來解決的問題可能不會特別令人吃驚，直到考慮圖靈論文的其他結論：圖靈機可以模擬任何計算過程。圖靈表明，不能解決的問題和能解決的問題一樣多，每種問題的數量是無窮的最低值，所謂的可數無窮大（可以計算整數的數量）。圖靈還論證了，在任何一個系統，判斷任何邏輯命題的真偽都很困難，哪怕這個系統的邏輯強大到能描述自然數就是無解問題之一，這個結論類似哥德爾。（換句話說，任何程式都無法保證回答所有命題的問題。）

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